Cuando tiras una piedra al agua, ¿qué sucede con el nivel del agua?

Rhett Allain

Las preguntas de física son más divertidas cuando las personas no se ponen de acuerdo inmediatamente sobre la respuesta. Lo que parece intuitivo u obvio, a veces no lo es. Podemos discutir sobre la solución durante horas de entretenimiento e incluso podríamos aprender algo al final.

He aquí una de estas preguntas aparentemente obvias que han existido desde hace mucho tiempo: supongamos que hay una roca grande en un bote que flota en un estanque muy pequeño. Si se arroja la roca por la borda, ¿el nivel del agua del estanque subirá, bajará o permanecerá sin cambios?

Anímate y discútelo con tus amigos y familiares. Mientras los convences de que tu respuesta es correcta, aquí tienes una foto de mi barco con una piedra dentro:

Vale, en realidad no es un barco, es parte de una botella de plástico. Además, la “roca” es un peso de plomo y el “estanque” es un vaso de precipitados. Pero de esta manera podemos ver qué sucede con el nivel del agua cuando dejamos caer un objeto en ella.

Cuando un barco flota en el agua, actúan sobre él dos fuerzas. Primero, está la fuerza gravitacional que tira hacia abajo, que es igual a la masa del barco y todo lo que hay en él (m) multiplicada por el campo gravitacional (g = 9,8 newtons por kilogramo). A menudo llamamos a este producto "peso".

La otra fuerza es la interacción de flotabilidad con el agua que empuja hacia arriba. Dos cosas son ciertas acerca de esta fuerza de flotación. Primero, si el barco está flotando, entonces la flotabilidad hacia arriba debe ser igual al peso del barco. En segundo lugar, la fuerza de flotación es igual al peso del agua desplazada por el barco.

Podemos calcular esta fuerza de flotación tomando el volumen de agua desplazada (Vd) y usando la densidad del agua (ρw) junto con el campo gravitacional (g).

joseph inviernos

David Nield

adrien so

Andrés Couts

Con eso, podemos mirar nuestro pequeño barco en un pequeño estanque. Para simplificar lo más posible las cosas, supongamos que el barco tiene paredes sin masa, lo cual no es una aproximación descabellada, ya que mi barco es en realidad una botella de plástico. Eso significa que el único peso es la roca. (No te preocupes, haré un ejemplo más realista más adelante). Aquí tienes un diagrama de fuerza:

Debido a que la fuerza de flotación (FB = ρw × Vd × g) es igual al peso de la roca (mr × g), podemos encontrar una expresión para el volumen de agua desplazada (Vd):

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Necesitamos este volumen porque es la cantidad que aumenta el nivel del agua en el "estanque" cuando se agrega el bote. Es literalmente la definición de agua desplazada.

Ahora, dejemos caer la piedra al agua. El barco ya no importa y no desplaza agua ya que no tiene masa. Aquí está el diagrama de fuerza solo para la roca:

Como esta roca es mucho más pequeña que el barco, desplaza menos agua que cuando estaba en el barco flotante. Esto significa que la fuerza de flotación que empuja hacia arriba también es menor y, ahora, no es una fuerza lo suficientemente grande como para equilibrar la fuerza gravitacional hacia abajo. Entonces, la roca descansa sobre el fondo del estanque (o vaso de precipitados), lo que proporciona una fuerza adicional hacia arriba (Ff).

Con una fuerza de flotación menor, hay menos agua desplazada. Eso significa que es hora de revelar la respuesta a nuestra pregunta: ¡El nivel del agua bajará!

¿Estás sorprendido? La gente suele pensar que la respuesta es que el nivel del agua aumentará, porque la roca desplazará el agua y obligará al nivel del agua a subir, pero están equivocados y eso está bien. A menudo basamos las respuestas en nuestras experiencias de vida anteriores y probablemente hayas hecho algo como añadir canicas a un vaso de agua para subir el nivel. Parece razonable imaginar que en este caso ocurrirá lo mismo.

Pero agregar canicas a un vaso es diferente a nuestro escenario del barco. Debido a que las canicas no flotan en un bote, en primer lugar no están en el agua. Probablemente estén en tu bolsillo, o algo así, y sacar una canica de tu bolsillo no tiene ningún impacto en el nivel del agua. Cuando dejas caer esa canica en el vaso, el agua no tiene adónde ir más que subir y el nivel del agua sube. Esto es lo mismo que sucedería si arrojaras una piedra a un estanque estando parado en la orilla.

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Por otro lado, una piedra en un barco ya está desplazando el agua antes de caer en él. Por eso los dos casos son diferentes, y eso es lo que hace que ésta sea una pregunta de física divertida.

Aquí hay una imagen real usando mi estanque de precipitados y mi bote de botellas de plástico:

Incluso podemos obtener una expresión para la cantidad que bajó el nivel del agua. Recuerda que ya calculamos el volumen desplazado por la combinación de la roca y el barco. Llamemos a eso V1 para el volumen inicial de agua desplazada. Ahora, con la roca en el fondo, simplemente desplazará una cantidad igual al volumen de la roca real. Supongamos que esta roca tiene una densidad de ρr. Luego desplazará un volumen V2:

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Esto da una diferencia de volumen, o el volumen de caída de agua en el estanque:

Sólo por diversión, introduzcamos los valores de mi pequeña versión experimental de este barco y roca. En este caso, la roca es en realidad un peso de plomo con una masa de 130 gramos. La densidad del agua es de 1 gramo por centímetro cúbico (g/cm3) y la densidad del plomo es de 11,3 g/cm3. Poniendo estos valores se obtiene una caída del nivel del agua de 118 cm3.

Mirando las lecturas del vaso, con la masa en el bote el agua está en 670 mililitros (que son 670 cm3). Cuando se pone la masa en el agua, baja a 560 mL para un cambio de 110 mL. Eso está bastante cerca de mi cálculo. Lindo.

Bien, bien, hagamos el cálculo real. Imaginemos que tengo un bote pequeño con una masa de 100 kilogramos (mb). El barco transporta a una persona con una masa de 70 kg (mp) más una roca de 50 kg (mr). El estanque es una piscina perfectamente cilíndrica con un radio de 3 metros y una profundidad de 2 metros.

Primero, necesito calcular el volumen de agua desplazada cuando la roca está en el bote. La fuerza gravitacional hacia abajo (que es igual a la fuerza de flotabilidad) sería igual al campo gravitacional multiplicado por la suma de las masas (bote más persona más roca). Podemos usar eso para encontrar V1:

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Cuando la persona tira la piedra por la borda, tenemos dos volúmenes a considerar. Está el volumen desplazado por el barco más la persona, y luego está el volumen desplazado por la roca en el fondo, que depende de la densidad de la roca.

Cuando tomamos la diferencia en estos dos volúmenes, la parte con la masa del barco se cancela.

Mira, ¡te dije que estaba bien usar un bote sin masa! Mientras la roca sea más densa que el agua (lo que significa que se hundirá), esa expresión de la derecha será negativa y el nivel del agua bajará cuando arrojemos la roca fuera del bote.

Si pongo nuestros valores reales para las masas y uso una densidad de roca de 4 g/cm3, obtengo una caída de volumen de 0,03 metros cúbicos. Si nuestro estanque cilíndrico tiene un radio de 3 metros, el nivel del agua bajará una distancia de 1 milímetro. Sí, esa es una caída muy pequeña en el volumen de nuestro estanque súper pequeño. Pero sigue siendo una caída en el nivel del agua y siempre será un problema de física divertido.